孪生素数猜想（周氏猜想和孪生素数猜想）

本篇文章给大家谈谈孪生素数猜想，孪生以及周氏猜想和孪生素数猜想对应的素数生素数猜知识点，希望对各位有所帮助，猜想猜想不要忘了收藏本站喔。周氏

孪生素数猜想，我的素数生素数猜证明对吗

最近，《自然》杂志的猜想猜想网站上刊登了一篇文章，在华人数学爱好者和学者之间产生了轰动。周氏该文章的和孪标题是《第一个无穷组素数成对出现的证明》。“孪生素数猜想”是孪生什么？这篇文章为何会引起轰动呢？这要从“孪生素数猜想”说起。众所周知，素数生素数猜素数是猜想猜想只含有两个因子的自然数（即只能被自身和1整除）。而“孪生素数”是周氏指两个相差为2的素数，例如3和5，和孪17和19等。孪生素数猜想是说，存在无穷对孪生素数。孪生素数的问题已经有约200年的历史。在1900年的国际数学家大会上，希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。想了解这个问题的奇妙之处，需要大概了解素数的分布规律。2000多年前，古希腊数学家欧几里德最先证明了素数在自然数中有无穷多个。这个证明是数学爱好者都很熟悉的，英国数学家哈代在他的《一个数学家的辨白》中也对这个证明津津乐道（如果有人没有读过的，推荐一读）。随着数学慢慢发展，人们渐渐意识到素数在自然数的分布具有一定的规律。随着数量级的增大，素数的密度越来越小。例如，100以内有25个素数（25%），而100万以内的素数只有7.85%。尽管素数的分布越来越稀疏，但其稀疏程度却是可以度量的。例如，人们发现素数的倒数和为无穷，这就意味着素数的分布比完全平方数要稠密。在法国数学家勒让德和德国数学家高斯等人的推动下，人们开始猜测素数的分布律接近x/ln(x)，即前x个整数中大约有x/ln(x)个素数。这一结果于1896年被两位数学家各自证明，此时距离勒让德的猜想提出已经有98年。

如何评价张益唐在孪生素数猜想上的研究成果及意义？

（1）孪生素数猜想是说有无数对孪生素数（差为2的两个素数）

张益唐证明了有素数间隔有上界7000万,即有无数对差在7000万以内的素数

随后各数学爱好者,不乏大家陶哲轩开始刷这个下限

虽说从7000万到2还有很大距离,不过这个工作把无限推进到了有限,是具有突破性的

（2）至于陈景润做出的主要成果是证明了1+2,这是目前离哥德巴赫猜想也就是1+1最接近的

（3）孪生素数猜想说的是素数分布上面的事情（另一个著名的素数分布有关的猜想是黎曼猜想）,与1+1是有一定关联的,很多数学家希望通过证明孪生素数猜想来证明1+1,但在1+1证明出来之前是否比1+2更加接近这个真的不好说.若有幸看到1+1得证的那一天,可以看看证明中是否用到了1+2或者孪生素数的方法或理论,此时才可以定论谁更加接近

孪生素数猜想的研究

早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多，许多迹象也越来越支持这个猜想。最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法。设所有的素数的倒数和为：

如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数。但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大。由此说明素数有无穷多个。1919年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：

如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了。这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿。他证明了这个倒数和是一个有限数，这个常数就被称为布隆常数：b=1.90216054…布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。

1920年代，通过使用著名的筛理论（Sieve theory，基于埃拉托斯特尼筛法的理论），挪威的维果·布朗（Viggo Brun）证明了2能表示成两个最多有9个素数因子的数的差。这个结论已经有些近似于孪生素数猜想了。可以看到，只要将这个证明中的“最多有9个素数因子的数”改进到“最多有1个素数因子的数”，就可以证明孪生素数猜想了。

1966年由已故的我国数学家陈景润利用筛法（sieve method）所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果与他关于 Goldbach 猜想的结果很类似。一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。 证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性结果。 这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔Δ， 更确切地说是：

翻译成白话文， 这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔， 与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。 很显然， 孪生素数猜想如果成立， 那么Δ必须等于 0。因为孪生素数猜想表明pn+1-pn=2对无穷多个n成立，而ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合（从而对于整个素数集合也）趋于零。不过要注意，Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充份条件。换句话说，如果能证明Δ≠0，则孪生素数猜想就不成立；但证明Δ=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。

对Δ最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x，在x附近素数出现的几率为 ， 这表明素数之间的平均间隔为ln(x)（这也正是Δ的表达式中出现 ln(pn)的原因），从而 给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。平均值为 1， 最小值显然是小于等于 1， 因此素数定理给出Δ≤1。

对Δ的进一步估算始于Hardy和Littlewood。一九二六年，他们运用圆法（circle method）证明了假如广义Riemann猜想成立，则Δ≤2/3。这一结果后来被Rankin改进为Δ≤3/5。但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义Riemann猜想， 因此只能算是有条件的结果。一九四零年，Erdös利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ1（即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了）。此后Ricci于一九五五年，Bombieri和Davenport于一九六六年，Huxley于一九七七年，分别把这一结果推进到Δ≤15/16，Δ≤(2+√3)/8≈0.4665及 Δ≤0.4425。Goldston和Yildirim之前最好的结果是Maier在一九八六年取得的Δ≤0.2486。

2003年，Goldston和Yildirim发表了一篇论文，声称证明了Δ=0。但2003年4月23日，Andrew Granville （University de Montreal）和Kannan Soundararajan（University of Michigan）发现了Goldston和Yildirim证明中的一个错误。2005年，他们与Janos Pintz合作完成了证明。 此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孪生素数猜想的弱化版本——存在无穷多对相距16的素数——在Δ=0时也会成立。

Δ=0被证明后人们的注意力自然就转到了研究Δ趋于0的方式上来。 孪生素数猜想要求Δ ~ [log(pn)]（因为 pn+1-pn=2对无穷多个n成立)。Goldston和Yildirim的证明所给出的则是 Δ ~ [log(pn)]，两者之间还有相当距离。 但是看过Goldston和Yildirim手稿的一些数学家认为，Goldston和Yildirim所用的方法存在改进的空间。这就是说，他们的方法有可能可以对Δ趋于0的方式作出更强的估计。因此Goldston和Yildirim的证明， 其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。

2013年5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破。

尽管从2到7000万是一段很大的距离，《自然》的报道还是称其为一个“重要的里程碑”。正如美国圣何塞州立大学数论教授Dan Goldston所言，“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。” 1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)。k=1的情况就是孪生素数猜想。因此，波利尼亚克有时也被认为是孪生素数猜想的提出者。

1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了以下的强化版猜想：设为前N个自然数里孪生素数的个数。那么

其中的常数是所谓的孪生素数常数，其中的p表示素数。

哈代和李特尔伍德的猜测实际上是存在已久的孪生素数猜想的加强版。孪生素数猜想是指“孪生素数有无穷多个”。这个猜想至今仍未被证明。然而，哈代和李特尔伍德的猜测并不是需要建立在孪生素数猜想成立的前提上。

这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。中国数学家周海中指出：要证明强孪生素数猜想，人们仍要面对许多巨大的困难。

“孪生素数猜想”中国数学家张益唐的突破性成果

图片来自网络

甚麽是素数？素数又叫做质数，是这样一些正整数（即自然数），除了1和它自身，没有任何其它整数能整除它。例如：2，3，5， 7，11，13，17，......,83，89，97，......等等都是素数（为了任意正整数因数分解的唯一性，数学界规定1不是素数）。

两千多年前的欧基里德，已经证明了素数有无穷多。人们最近发现的已知最大素数是2^74207281-1(即2的74207281次方再减去一，如果写成十进数字，有2230多万位）。 人们之所以重视研究素数，是因为任何自然数（正整数） 都可表示成素数或若干个其它素数的乘积，即素数是构成自然数的基石。例如，100=2X2X5X5，105=3X5X7， 等等。

孪生素数，就是相差刚好等于二的相邻的一对素数。例如，3和5， 5和7，11和13，41和43，59，61等等，都是孪生素数。较大的孪生素数对：（7559，7561），（9767，9769）等等。目前发现的最大孪生素数对是：2003663613X2^195000-1和2003663613X2^195000+1。

孪生素数猜想， 就是猜想孪生素数有无穷多对。数论中凡是涉及无穷的论断， 都需要用数学方法从理论上证明，不能用实际计算去验证， 也不能用超级计算机去验证。孪生素数猜想，和哥德巴哈猜想一样， 都是数论的著名难题，经过很多数学家多年的努力，还未得到解决。

值得高兴的是，中国旅美数学家张益唐，2014年在美国《 数学年刊》上，发表了一篇论文，震惊了世界，论文的最后结论（通过简单的推论及后续的发展）是：如果把孪生素数定义中：相邻的一对素数相差等于2，更改为相邻的一的对素数相差等于常数C （C 是大于或等于2，而小于或等于600的偶数），则孪生素数猜想成立。

为了更清楚解释上述结论，我们引入一些简单符号：把所有素数由小到大排成数列：2，3，5，7，11，..... .，令P1=2，P2=3，P3=5，P4=7，P5=11，.....P24=89，P25=97，......，Pn= 第n个素数，.... 用{ Pn}表示素数数列。则{ Pn}={ 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，......,59,61,......,89,97,101,103,......,7559,7561,......,9767,9769,......}

现在由素数数列{ Pn}构造一个新的数列：从第2 项起，每一项与前一项在作成差：P2-P1，P3-P2，P4-P3，......，Pn+ 1-Pn，......，则{ (Pn+1-Pn)}是新的无穷数列，则

{ （Pn+1-Pn）}={ 1，2，2，4，2，4，2，4，6，2，6，4，2，......，2，......}.最后，还要引进无穷数列中的无穷子数列概念。例如：自然数列N={ 1，2，3，4，5，......23，24，25，.....，99，100，101，.....，1000，......，100000，......}，它的所有奇数组成的数列{ 1，3，5，7，9，11，13，......101，103，......},就是自然数数列N的无穷子数列。

总而言之，孪生素数猜想就是猜想无穷数列{ （Pn+1-Pn）}={ 1，2，2，4，2，4，2，4，6，2，6，4，2，......，2，......}之中，存在着无穷子数列：{ 2，2，2，......，2，2，2，.....} (每一项都是2）

而张益唐得到的成果是无穷数列{ （Pn+1-Pn）}={ 1，2，2，4，2，4，2，4，6，2，6，4，2，......，2，......}之中，存在着无穷子数列：{ C，C，C，......，C，C，C，......}(每一项都是C是大于或等于2，而小于或等于600的偶数）。

编辑：何郑燕

（专家：文达，原City University of New York数学教授，科普中国微平台原创首发）

孪生素数猜想，为何会让科学家操碎了心呢？

因为科学家想要研究孪生素数是否是无穷多个，这种猜想要验证起来是十分困难的。在一个数集里，数字增多不代表孪生素数的数目会呈直线变多，有可能数字在足够多的时候，孪生素数就不能继续增多了。

孪生素数猜想是数论领域中最著名的猜想之一，自提出以来，便一直困扰着数学家。孪生素数是指那些相差为2的素数对，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一对孪生素数（即3和5）之外，每个孪生素数对中的第一个素数总是比6的倍数小1。所以第二个孪生素数总是比6的倍数大1。孪生素数猜想说的是，在自然数集中，这样的孪生素数对有无穷多个。

希腊人很早就已经注意到了素数，而且他们都证明了有无限多个素数，这个定理其实很容易证明。数目越大，这个素数的数目会越来越少，如果去把这个素数表查一查，从1-100有25个素数，1-1000只有168个素数，假如1-100的素数的密度跟1-1000的素数的密度一样的话，那么1-1000应该有250个，可是只有168个，这很显然证明素数数目越大，素数密度就越来越少。

在很久很久以前，人们就对数字有一定的了解了，孪生素数的猜想一直困惑着科学家，主要还是因为孪生素数是否是无限的。

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